Question

定义在实数集R上的函数y=f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=-4x²+8x-3.

1.求f(x)在R上的表达式
2.求y=f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间

Answer 1

1.当x＜0时，-x＞0。代入f（x）得
f(-x)=-4x²-8x-3
又因为f(x)在R上是偶函数
所以f(-x)=f(x)，当x＜0时，表达式为f(x)=-4x²-8x-3
所以f(x)在R上的表达式为
当x≥0时，f(x)=-4x²+8x-3
当x＜0时，f(x)=-4x²-8x-3

2.当x≥0时，f(x)=-4x²+8x-3=-4（x²-2x+1-1）-3=-4（x-1）²+1
当x=1时取最大值1，单调增区间为[0,1]单调减区间为（1，+无穷）

当x＜0时，f(x)=-4x²-8x-3=-4（x²+2x+1-1）-3=-4（x+1）²+1
当x=-1时取最大值1，单调增区间为（-无穷，-1]单调减区间为（-1,0）

所以y=f(x)的最大值为1，f(x)在R上的单调增区间为（-无穷，-1]和[0,1]
单调减区间为（1，+无穷）和（-1,0）

Answer 2

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