Question

已知y=f(x)时定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x-x²

1.求x＜0时，f(x)的解析式
2.问是否存在这样的正数a,b,当x∈[a,b]时，g(x)=f(x),且g(x)的值域为[b分之一，a分之一]?若存在，求出所有的a,b值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.设x<0，则-x>0
f(x)=-f(-x)=-(2*(-X)-(-X)^2)=2X+X^2
所以，x<0时：
f(x)=2X+X^2 [X<0]
2.
因为0<a<b≤2，所以f(X)=2x-x²
它的对称轴为X=1
分类讨论
一。0<a<b≤1,则此区间内函数是递增的
f(a)=1/b=2a-a²
f(b)=1/a=2b-b²
a=b=1 舍
二。0<a≤1≤b≤2
则在x=1时有最大值1
1/a=1
a=1
则x=b是有最小值
f(b)=1/b=2b-b²
经过整理得 (b-1)(b^2-b-1)=0
解得B=1舍
或B=（1-根号5）/2 舍
或B=（1+根号5）/2
所以a=1,b=（1+根号5）/2
三。1≤a<b≤2，则此区间内函数是递减的
则f(a)=1/a=2a-a²
f(b)=1/b=2b-b²
a=1，b=（1+根号5）/2
综上所述
a=1，b=（1+根号5）/2