Question

圆O:x2+y2=1 和点M（4，2），（1）求过点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的圆M的方程

（2）设P为（1）中圆M上任一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，探究：平面内是否存在一定点R，使得|PQ|/|PR|为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值，若不存在，说明理由

Answer 1

③设圆M上的动点P的坐标为(4+3cost，2+3sint)，定点R的坐标为(a，b)，那么
PO²-1=PQ²，(其中1为圆O的半径)，即有：
PQ²=(4+3cost)²+(2+3sint)²-1=16+24cost+9cos²t+4+12sint+9sin²t-1
=24cost+12sint+28............(1)
PR²=(4+3cost-a)²+(2+3sint-b)²=16+9cos²t+a²+24cost-8a-6acost+4+9sin²t+b²+12sint-4b-6bsint
=(24-6a)cost+(12-6b)sint+a²-8a+b²-4b+29=(24-6a)cost+(12-6b)sint+(a-4)²+(b-2)²+9......(2)
若PQ/PR=1/m=定值，那么有
m²(24cost+12sint+28)=(24-6a)cost+(12-6b)sint+(a-4)²+(b-2)²+9........①
上式①是恒等式，其对应项系数相等：
于是有24m²=24-6a，系数化简得 4m²=4-a，即a=4-4m²........(3)
12m²=12-6b，系数化简得2m²=2-b，即b=2-2m²....................(4)
28m²=(a-4)²+(b-2)²+9.............(5)
将(3)(4)代入(5)得 28m²=16m⁴+4m⁴+9=20m⁴+9，即有20m⁴-28m²+9=(10m²-9)(2m²-1)=0
故得m²₁=9/10或m²₂=1/2；于是得a₁=4-36/10=4/10=2/5，b₁=2-9/5=1/5；
a₂=4-2=2，b₂=2-1=1.即有定点R₁(2/5，1/5)；或R₂(2，1)
作为例子，取R₂(2，1)，此时PQ/PR= √(1/m)=√2.

Answer 2