Question

高一的一道数学题，高手们进啊！！

Answer 1

第一种方法（比较复杂，但好理解）
∵函数f(x)是定义在R内是增函数且f(1-ax-x^2)小于f（2-a)对任意0=<x<=1都成立
那么1-ax-x^2<2-a对任意0=<x<=1都成立
即在0=<x<=1区间上x^2+ax+1-a恒大于0
函数x^2+ax+1-a的对称轴为x=-b/2a=-a/2
(1)-a/2<0 即a>0
区间0=<x<=1在函数对称轴右边，那么函数在0=<x<=1上单调递增（自己作图看一下效果更明显）
那么f(0)最小 即1-a>0 则a<1
故 0<a<1
(2)0<=-a/2<=1 即 -2=<a<=0
对称轴此时在区间0=<x<=1上，那么对称轴所在函数值最小
f(-a/2)=-a^2/4+1-a>0 即-2-2√2=<a<=-2+2√2
故 -2=<a<=0
（3）-a/2>1 即a<-2
区间0=<x<=1在函数对称轴左边,那么函数在0=<x<=1上单调递减
那么f(1)最小 f(1)=3-a>0 即a<3
故a<-2
故综上所述 a<1

第二种方法∵函数f(x)是定义在R内是增函数且f(1-ax-x^2)小于f（2-a)对任意0=<x<=1都成立
那么1-ax-x^2<2-a对任意0=<x<=1都成立
那么（1-x）a<x^2+1
∵0=<x<=1 即1-x>=0
∴a<(x^2+1)/(1-x)在0=<x<=1恒成立
要使a<(x^2+1)/(1-x)在0=<x<=1恒成立
即只要a小于<(x^2+1)/(1-x)在0=<x<=1的最小值即可
那么我们就需要把(x^2+1)/(1-x)在0=<x<=1的最小值求出来，怎么求呢？一般采用求导确定单调区间，求极值的方法来求
即令f(x)=(x^2+1)/(1-x) f'(x)=[2x(1-x)-(x^2+1)*(-1)]/(1-x)^2=-(x-1)^2+2 f'(x)在0=<x<=1区间内恒大于0 即是f(x)在0=<x<=1上单调递增
那么f(x)在0=<x<=1的最小值为f(0)=1
故a<1

参考：

由已知条件可得，对任意x∈[0,1]都有1-ax-x^2<2-a
即对任意x∈[0,1]都有x^2+ax+1-a>0
结合二次函数f(x)=x^2+ax+1-a的图像，开口向上，对称轴为x=-a/2
即当x<-a/2时，f(x)单调递减，当x>-a/2时，f(x)单调递增.
对 a的值进行分类讨论
i)当a>0时，-a/2<0，所以[0,1]为f(x)的递增区间，只需满足f(0)>0就有对任意x∈[0,1]有x^2+ax+1-a>0，所以f(0)=1-a>0，解得a<1

ii)当0≤-a/2≤1即-2≤a≤0时，要使得f(x)在[0,1]上都满足f(x)>0只需f(-a/2)>0（f(-a/2)为函数的最小值)）即(-a/2)^2+a*(-a/2)+1-a>0解得-2-2√2<a<-2＋2√2

iii)当-a/2>1即a<-2时，f(x)在[0,1]上单调递减，要使得f(x)>0，只需f(1)>0,即1^2+a*1+1-a=2>0，显然，前式对于任何的a<-2都成立

综合上述三种情况，可得0<a<1，-2≤a≤0,a<-2都满足题意，所以a的取值范围为(-∞,1)