Question

如果函数y=a^2x+2a^x-1(a＞0且≠1）在区间[1，-1]上的最大值是14，求实数a的值、

Answer 1

y=a^2x+2a^x-1=(a^x)^2+2a^x+1-2
=[a^x+1]^2-2
令a^x=t＞0，则：
y=(t+1)^2-2表示的是以t=-1为对称轴，开口向上的二次函数
则：
①当0＜a＜1时，a^x为减函数，t=a^x在[-1,1]上的最大值为t=a^-1=1/a＞1
此时，y的最大值为y=[(1/a)+1]^2-2=14
则，a=1/3
②当a＞1时，a^x为增函数，t=a^x在[-1,1]上的最大值为t=a^1=a＞1
此时，y的最大值为y=[a+1]^2-2=14
则，a=3
综上，a=1/3或者a=3

Answer 2

解：令t=a^x,则y=t^2+2t-1
函数对称轴为t=-1
当a∈（0,1）时，t∈[a,1/a]
∵x=-1在（a，1/a）左侧
∴y(t)max=y(1/a)=14,a1=1/3，a2=-1/5（舍）
当a∈（1，+∞）时，t∈[1/a,a]
同理x=-1在（1/a，a）左侧
y（t）max=y（a）=14，a1=3，a2=-5（舍）
综上：a=1/3或3