Question

基本不等式用法.1题10分（还是要过程。。。）

已知X.Y为正数，且1/X+2/y=1，求X.Y的最大值

已知X.Y为正数，且1/X+2/y=1，求X+Y的最值

已知X.Y为正数,X+2Y=1时,求1/X+1/Y的最值

Answer 1

(1). ∵X,Y为正数 ∴据基本不等式得:
1/X+2/Y≥2√(2/XY) ,又∵1/X+2/Y=1 ,∴1≥2√(2/XY)
将等式平方得: 1≥8/XY ,即 XY≥8 .
当且仅当 1/X=2/Y ,又1/X+2/Y=1 ,即X=2 ,Y=4 时等号成立.

(2). ∵1/X+2/Y=1 ∴ X+Y=1×(X+Y)=(1/X+2/Y)×(X+Y) 多项式相乘得:
X+Y=1+Y/X+2X/Y+2=3+Y/X+2X/Y 又∵X,Y为正数 ∴据基本不等式得:
X+Y=3+Y/X+2X/Y≤3+2√(Y/X×2X/Y) 即X+Y≤3+2√2
当且仅当 Y/X=2X/Y,又1/X+2/Y=1 ,即X=1+√2 ,Y=2+√2 时等号成立.

(3). ∵X+2Y=1 ∴1/X+1/Y=(X+2Y)×(1/X+1/Y)=1+X/Y+2Y/X+2=3+X/Y+2Y/X
又∵X,Y为正数 ∴1/X+1/Y=3+X/Y+2Y/X≤3+2√(X/Y+2Y/X) ,
即1/X+1/Y≤3+2√2 当且仅当X/Y=2Y/X,又X+2Y=1,即X=-1+√2 ,Y=1-√2/2 时等号成立 .

这是一种基本不等式的题型,有套路可循.
加油啦 ~~!