一道高中数学分析法的证明
若x>0,y>0,用分析法证明:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)...
若x>0,y>0,用分析法证明:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
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若x>0,y>0,用分析法证明:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
解：要证(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
需证(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
需证x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6>x^6+2x^3y^3+y^6
需证3x^4y^2+3x^2y^4>2x^3y^3
需证3x^2+3y^2>2xy
3x^2+3y^2>x^2+y^2>=2xy
3x^2+3y^2>2xy成立
所以:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
解：要证(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
需证(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
需证x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6>x^6+2x^3y^3+y^6
需证3x^4y^2+3x^2y^4>2x^3y^3
需证3x^2+3y^2>2xy
3x^2+3y^2>x^2+y^2>=2xy
3x^2+3y^2>2xy成立
所以:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
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解(x^2+y^2)^(1/2)-(x^3+y^3)^(1/3) =(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
=x^6+3x^4*y^2 +3x^2y^4+y^6-x^6-2x^3*y^3-y^6=x^2y^2(3x^2+3y^2-2xy）
3x^2+3y^2-2xy=3（x-y）^2+6xy-2xy=3(x-Y)^2+4xy>0
所以:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
=x^6+3x^4*y^2 +3x^2y^4+y^6-x^6-2x^3*y^3-y^6=x^2y^2(3x^2+3y^2-2xy）
3x^2+3y^2-2xy=3（x-y）^2+6xy-2xy=3(x-Y)^2+4xy>0
所以:(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
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