Question

有几道数学题不会，请教一下！！！！！！这该怎么做？？？？要详细过程！

如图1，BD,CE分别是三角形ABC的外角平分线，过点A作AF垂直于BD，AG垂直于CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF,AG，与直线BC相交。
（1）求证：FG=2/1(AB+BC+AC)
(2)若BD,CE分别是三角形ABC的内角平分线，如图2；BD为三角形ABC的内角平分线，CE为三角形ABC的外角平分线，如图3，则在图2，图3两种情况下，线段FG与三角形ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明。

Answer 1

证：（1）在ΔACJ中，CE是∠ACJ的平分线，CE⊥AJ，所以∠1＝∠2，有CJ=AC，且AG=GJ（角分线、高、中线三线合一）

同理可证得，BH=AB，AF=FH。

所以，FG为ΔAHJ的中位线，有FH=(AB+BC+AC)/2. 

(2)在图2、图3中，同样延长AG、AF交于BC于点H、J，

则图2中：

在三角形ACH中，AC=CH，G是AH中点，

在三角形ABJ中，AB=BJ，F是AJ中点，

HJ=CH-CJ=AC+（BJ-BC）=AC+AB-BC，

FG=1/2HJ=1/2（AC+AB-BC）。

图3中：

AB=BH，F是AH中点，

AC=CJ，G是AJ中点，

FG=1/2HJ=1/2（AC+BC-AB）。

Answer 2

1、分析过程：这种题型有一个规律，即要将AB,BC,AC三条线转化到同一条线，另外，图形很关键，此题图形稍有不足，所以影响答题者的判断。
证明：
设AF延长线交直线BC于点，AG延长线交直线BC于点N
∵BF为∠MBA的平分线
∴∠MBF=∠ABF
又∵AF⊥BF
∴∠AFB=∠MFB=90°
综上：
∠MBF=∠ABF
BF=BF(公共边)
∠AFB=∠MFB
∴⊿ABF≌⊿MBF(角边角)
∴AB=MB
AF=MF
同理可证：
AC=CN
AG=NG
由AF=MF，AG=NG可知
F,G分别是AM和AN的中点
∴FG是△AMN的中位线
∴FG=1/2MN
即FG=1/2(MB+BC+NC)
前面已证：AB=MB;AC=NC
∴FG=1/2(AB+AC+BC)
2、一般情况可以根据图形猜测其关系，但此题直观猜不出，只有在证明的过程中才会找到答案(可沿用上题思路)。
延长AG交BC于M，延长AF交BC于N
∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABF=∠NBF
又∵AF⊥BD
∴∠ABF=∠NBF =90°
综上：
∠ABF=∠NBF
BF=BF(公共边)
∠ABF=∠NBF
∴⊿ABF≌⊿NBF
∵AB=BN
AF=NF
同理可证：
AC=MC
AG=MG
由此可得：
AB+AC=BN+CM
即AB+AC=BM+MN+CN+MN
又∵AG=MG,AF=NF
∴G,F分别为AM,AN的中点
∴GF为△AMN的中位线
∴GF=1/2MN
AB+AC= BM+MN+CN+MN=BC+MN=BC+2GF
导出BF=1/2(AB+AC-BC)
3、延长AF交BC于M，延长AG交BC延长线于N
∵BD为∠ABC的平分线
∴∠ABF=∠NBF
又∵AF⊥BD
∴∠ABF=∠MBF =90°
综上：
∠ABF=∠MBF
BF=BF(公共边)
∠ABF=∠MBF
∴⊿ABF≌⊿NBF
∵AB=BM
AF=MF
同理可证：
AC=NC
AG=NG
综上
∵AG=NG,AF=MF
∴G,F分别为AM,AN的中点
∴GF为△AMN的中位线
∴GF=1/2MN
此处若看不出它们之间的关系
我们即可用第一题计算方法进行计算
即试着计算AB+AC+BC的值
因前面已证明AB=BM;AC=CN
∴AB+AC+BC=BM+CN+BC=BM+CN+BM+MC
=2BM+2FG
∴AB+AC+BC=2AB+2FG
导出FG=1/2（AC+BC-AB)