Question

设F1,F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点,P为椭圆上的一点,已知P,F1,F2是一个直角三角

设F1，F2为椭圆x2/9+y2/4=1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>PF2|，求|PF1| / |PF2|

Answer 1

                             

这样的做法太麻烦了，因为这是个三角形所以设这三个边为M、N、L，又因为有一个角是直角，且两边之和为2a。所以利用勾股定理和|PF1|+|PF2|=2a这个条件列方程组

解：由题意可知

a2=9、b2=4、c2=5

=》a=3、b=2、c=√5

∴设PF1=M、PF2=N、F1F2=L

∴M+N=2a=6

情况一、当角P不是直角时                                                   

∵有一个角为直角，

∴根据勾股定理可得

    M2-N2=L2=2c=2√5

∴可列方程组

∴|PF1| / |PF2|= M/N=7/2

情况二、当角P是直角时

同理，可得方程组

∴|PF1| / |PF2|= M/N=2

∴综上所述

   当角P不为直角时

   |PF1| / |PF2|=7/2

   当角P为直角时

   |PF1| / |PF2|=2

Answer 2

x²/9+y²/4＝1上的一点，f1，f2分别为椭圆的焦点
那么焦点坐标为（-根号5
0）
（根号5
0）
∠f1pf2为直角时
也就是p点为以 f1，f2为直径的圆与椭圆的交点

以f1，f2为直径的圆方程为x²+y²=5
①

x²/9+y²/4＝1
②
联立解①②
y²=16/5
x²=9/5
所以交点坐标（±3根号5/
5
， ±4根号5/
5
）

Answer 3

∵|PF1|>PF2|，∴P在x正半轴，顺便求得焦点为：F1(-√5，0)，F2(√5，0)
1)P不是直角顶点，且|PF1|>|PF2| 则有|PF1|⊥|F1F2|，
过F2作垂线得到与椭圆交点即为P：(√5，4/3)或(√5，-4/3)
由勾股定理求得：|PF1| / |PF2|= 7/2 ；
2)P是直角顶点,则有|PF1|⊥|PF2|，
可设P坐标为：(3cosα ，2sinα)，∵|PF1|>|PF2|，∴cosα>0
则：向量 |PF1|：(-√5 - 3cosα，-2sinα)
向量 |PF2|：(√5 - 3cosα，-2sinα)
∵|PF1|⊥|PF2|，∴两向量之积为0
∴0 = 9(cosα)^2 - 5 + 4(sinα)^2 = 5(cosα)^2 - 1
结合cosα>0得到cosα = 1/√5 ，∴sinα = 2/√5或-2√5
由对称性，取sinα=2/√5即可。
作PA⊥OF2于A，易得A(3/√5 ，0)，∴F2A = 2/√5，且PA = 4/√5
∵△PF1F2∽△APF2 ，∴|PF1|/|PF2|=PA/F2A = 2