Question

高中数学题 定义在实数集R上的函数F(X)对任意X,Y∈R,有F(X+Y)+F(X-Y)=2F(X)*f(Y)

f(0)不等于0.求证F(0)=1

Answer 1

1.令y=0;2f(x)=2f(x)f(0);f(0)=1;
令x=0;f(y)+f(-y)=2f(y);f(-y)=f（y)偶函数；
2.令x=y=1;f(1)=0;
令y=1/x;f(1)=f(x)-f(1/x)=0;令y=1/y';f(x/y')=f(x)+f(1/y')=f(x)+f(y');
即：f（x/y）=f（x）+f（y）
定义域a0;a-10;∴a1;
f（a）f（a-1）+2 ;
f(a)-f(a-1)f(3)+f(3);
f(a*(a-1))f(3/3)=f(1);
增函数，则：a^2-a1;解得a∈{a|a(1+根号5)/2}

Answer 2

∵x，y任意数都有；F（x+y）+F(x-y)=2F（x）F（Y）
既然x，y可以为任意数，那么令x=y=0代入有：
F（0+0）+F（0-0）=2F(0)F(0)
即：2F（0）²-2F（0）=0
解F（0）=0或F（0）=1
又F（0）≠0，
∴F（0）=1
本题关键是抓住x，y可以取任意实数，这样用特殊值0代入去解。