Question

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：（1）f(-x)=f(x)（2）f(2+x)=f(2-x)(3)当x∈[0,2]时解析式y=2x-1,求x

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：（1）f(-x)=f(x)（2）f(2+x)=f(2-x)(3)当x∈[0,2]时解析式y=2x-1,求x∈[-4,0]上的解析式

Answer 1

解：因为f(-x)=f(x)
所以函数f（x）是偶函数，其图像关于y轴对称
又f（2+x）=f（2-x）
所以f（4+x）=f（-x）=f(x)
所以函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数
因为当x∈[0,2]时解析式y=2x-1
所以根据图像可知当x∈[-4,-2]时也是一次函数可设为y=ax+b，且当x=-4时y=-1
当x=-2时y=3
解得a=2，b=7 即当x∈[-4,-2]时y=2x+7
当x∈[-2，0]时也是一次函数可设为y=ax+b
且当x=-2时y=3 当x=0时y=-1
解得a=-2，b=-1 即当x∈[-2，0]时y=-2x-1
综上所述：当x∈[-4,-2]时y=2x+7
当x∈[-2，0]时y=-2x-1

Answer 2

解：
由f(2+x)=f(2-x)得函数关于x=2轴对称
f(2+x)=f(2-x)推出f(x)=f(4-x)
所以x属于[2,4] f(x)=2(4-x)-1=7-2x
所以解析式为：
x属于[0,2] f(x)=2x-1
x属于[-4，0] f(x)=7+2x

Answer 3

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