Question

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=1/(x+1)。

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=1/(x+1)。
（1）判断函数f(x)在区间【0，+无穷）上的单调性，并给予证明。
（2）求函数f（x）在R上的表达式。

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Answer 1

⑴减函数，x≥0时，u=x+1是增函数，且为正，∴y=1/u是减函数
证明：任取0≤x1＜x2
则f(x2)-f(x1)=1/(x2+1)-1/(x1+1)=(x1-x2)/(1+x2)(1+x1)
∵x1-x2＜0，1+x2＞0，1+x1＞0
∴f(x2)-f(x1)＜0，
∴f(x)是[0,+∞）上的减函数
⑵当x＜0时，-x＞0
f(x)=-f(-x)=-(1/(-x+1))=1/x-1
∴函数的解析式为f(x)=1/(x+1) （x＞0）
=1/(x-1) （x＜0）

这里有一点需要注意x>=0时,f(x)=1/(x+1)这个条件有问题
因为奇函数的定义域如果包括0的话，那么f(0)必然为0，而f(x)=1/(x+1)这个式子中f(0)=1，所以题目应该是x＞0时，f(x)=1/(x+1)