Question

一道高中数学题

数列｛an｝中，a1=1,a2=5/3,a(n+2) =(5/3)a(n+1) - (2/3)an , (n=1,2,…）
(1）令bn=a(n+1)-an ,(n=1,2…），求证数列｛bn｝为等比数列，并求出｛bn｝的通项公式
（2）求出数列｛an｝的通项公式
（3）求数列｛nan｝的前n项和Sn

Answer 1

(1)、有条件不难得出：a(n+2)-a(n+1)=(2/3)[a(n+1)-an]
即b(n+1)=(2/3)bn，即bn是等比数列，公比是2/3
首项为b1=a2-a1=2/3。
∴bn=(2/3)^n
(2)、由等比数列求和公式可知：
b1+b2+……+b(n-1)=2-3(2/3)^n
而左边=a2-a1+a3-a2+……+an-a(n-1)=an-a1
∴an=2-3(2/3)^n+a1=3-3(2/3)^n
(3)、原式=3{(1+2+……+n)-[2/3+2(2/3)^2+3(2/3)^3+……+n(2/3)^n]}
令中括号里的数为Sn，则
Sn=2/3+2(2/3)^2+3(2/3)^3+……+n(2/3)^n
(2/3)Sn=(2/3)^2+2(2/3)^3+3(2/3)^4+……+n(2/3)^(n+1)
错位相减，得：
Sn/3=2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+……+(2/3)^n-n(2/3)^(n+1)
=2-2(2/3)^n-n(2/3)^(n+1)
∴Sn=6-6（2/3)^n-3n(2/3)^(n+1)
=6-6（2/3)^n-2n(2/3)^n
∴原式=3[n(n+1)/2-6+6（2/3)^n+2n(2/3)^n]

Answer 2

（1）证明：b(n+1)/bn=(a(n+2)-a(n+1))/(a(n+1)-an)
=((5/3)a(n+1)-(2/3)an-a(n+1))/(a(n+1)-an)
=2/3
b1=a2-a1=2/3
∴{bn}是首项为2/3，公比为2/3的等比数列
bn=(2/3)^n
(2)解：∵bn=a(n+1)-an=(2/3)^n
∴an=(2/3)^(n-1)+a(n-1)
=(2/3)^(n-1)+(2/3)^(n-2)+a(n-2)
=......
=(2/3)^(n-1)+(2/3)^(n-2)+...+（2/3）+1
=2*[1-(2/3)^(n-1)]+1 (n≥2)
当n=1时，上式成立
an=2*[1-(2/3)^(n-1)]+1
(3)解：nan=3n-[(2/3)^(n-1)]*2n
An=3*1+3*2+...+3*n
=(1+3n)*n/2
Bn=[(2/3）^0]*2+[（2/3）^2]*4+...+(2/3)^(n-1)*2n
(2/3)Bn=(2/3)*2+[(2/3)^2]*4+...+[(2/3)^n]*2n
Bn-(2/3)Bn=2+2*【（2/3）+（2/3）^2+...+(2/3)^(n-1)】-[（2/3）^n]*2n
=6-4*(2/3)^(n-1)-【（2/3）^n]*2n
∴Bn=18-12*(2/3)^(n-1)-6n*(2/3)^n
Sn=An-Bn=(1+3n)*n/2-18+12*(2/3)^(n-1)+6n*(2/3)^n

Answer 3

证明：
an+2=5/3 an+1 - 2/3 an
an+2-an+1=2/3 an+1 -2/3 an=2/3（an+1-an）
∵bn=an+1-an 又∴bn-1=an-an-1
∴bn=2/3bn-1 b1=a2-a1=2/3
n
∴bn=(2/3)
求an 只要叠加bn消去中间项最后的结果是
n-1
an+1- a1=2(1-(2/3) )这样可以求出an+1,进而求出an
第三问较为麻烦要分为两部分来去第一部分是等差数列，第二部分是等差数列与等比数列的积，求第二部分要有些技巧将整体乘2/3后错位相减化成等比数列。进而求解出两部分，相加求出Sn

这题不是很简单，自己慢慢的做出来以后就会求了

Answer 4

设工程队原有队员X人,每人每天工作Y小时
xy=1/14
(x+4)(y+1)=1/10
(x+6)(y+2)=1/7
无正数解，
你题目中数据有错么？