Question

高中数学导数问题，急~~

已知函数f(x)=(1/2)x^2-alnx(a∈R)
（1）若函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a，b的值
（2）若函数f（x）在（1，正无穷）为增函数，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=(1/2)x²-alnx，(a∈R，x>0),
导函数f′(x)=x-(a/x)
=(x²-a)/x

（1）∵函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为y=x+b，
∴f′(2)=1，即(4-a)/2=1，
∴a=2，f(x)= (1/2)x²-2lnx，
∴f(2)=2-2ln2，
切线y=x+b过点(2，2-2ln2)，
∴b= -2ln2；

（2）∵函数f（x）在（1，＋∞）为增函数，
∴f′(x) =(x²-a)/x≥0在（1，＋∞）上恒成立.
即x²≥a在（1，＋∞）上恒成立.
∵当x>1时，x²>1，
∴a≤1，即a的取值范围是（－∞，1].