Question

数学导数问题，急~！

已知函数f(x)=x+(t/x).(t>0)和点P（1，0），过点P做曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别是M（x1,y1），N(x2,y2)
（1）求证：x1,x2为关于x的方程x^2+2tx-t=0的两根
（2）设|MN|=g（t），求函数g（t）的表达式

Answer 1

（1）
曲线上斜率k=dy/dx=1-t/x^2
所以，y=(1-t/x^2)x+b 这是切线方程，具体对第一条切线有
y=(1-t/x1^2)x+b 因为它过P点（1,0）代入，得b=(t/x1^2)-1
所以y=(1-t/x1^2)x+(t/x1^2)-1

再由于其过（x1，y1），所以得
(1-t/x1^2)x1+(t/x1^2)-1=x1+t/x1 整理得
x1^2+2tx1-t=0 同理对第二条切线也有同样特点。
所以第一问得证。

第二问：|MN|=[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2]^1/2
其中y2-y1=x2-x1+t(1/x2-1/x1)=x2-x1+t(x1-x2)/x1x2
所以只要计算出x2-x1(t)和x2x1(t)表示即可
而根据x^2+2tx-t=0 立即可得x2-x1=(t^2-t)^1/2 x1x2=-t
所以代入之后：|MN|=[t^2-t+t^2-t]^1/2=[2t^2-2t]^1/2=g(t)
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