Question

已知直线y=2x+a交圆x平方+y平方=1于两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON

已知直线y=2x+a交圆x平方+y平方=1于两点M（x1，y1），N（x2，y2），且x轴正半轴沿逆时针转到两射线OM,ON
（O为左边原点）的最小正角依次为α，β
（1）求证cos（α+β）=x1x2-y1y2
（2）求证：y1y2=4x1x2+2a(x1+x2)+a平方
（3）求cos（α+β）的值

Answer 1

由题意可知，x1=COSW,y1=sinW,x2=COSE,y2=sinE。所以COS(W+E)=X1X2-Y1Y2。又x^2+(2x+a)^2=1,即5x^2+4ax+a^2-1=0，x1+x2=-4a/5,x1*x2=(a^2-1)/5,y1*y2=(2x1+a)*(2x2+a)=4*x1*x2+2a(x1+x2)+a^2=4(a^2-1)/5+2a(x1+x2)+a^2。
COS(W+E)=X1X2-Y1Y2=-3x1*x2-2a(x1+x2)-a^2=-3(a^2-1)/5+4a^2-a^2=(7a^2)/5+3/5。

Answer 2

(2) 把y=2x+a代人到圆的方程得
x^2+(2x+a)^2=1
5x^2+4xa+a^2-1=0
x1+x2=-4a/5 x1x2=(a^2-1)/5
y1y2=(2x1+a)(2x2+a)
=4x1x2+2a(x1+x2)+a^2

y1y2=-16a/5+2a(a^2-1)/5+a^2
3)cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=y1y2-x1x2
=-16a/5+ 2a(a^2-1)/5+a^2-(a^2-1)/5
=2a^3/5+4a^2/5-18a/5+1/5
(1)1.取N关于x轴的对称点N'
向量OM=(x1，y1)
向量ON'=(x2，-y2)
OM·ON'=|OA||OB|cos(c+b)=cos(c+b)
用坐标表示
OM·ON'=x1x2-y1y2=cos(c+b)。