Question

百万火急！一道高中数学题，详细解释

给定an=log(n+2)/log(n+1) （n∈N*），定义乘积a1*a2************ak 为整数的k（k∈N*）叫做“理想数”，则区间[1，2010]内的所有理想数的和为___________．

Answer 1

解：
a1*a2*...*ak=(log3/log2)*(log4/log3)*...*(log(k+2)/log(k+1))=log(k+2)/log2=log2(k+2)
∵log2(k+2)为整数
∴k+2是2的整数次方，设k+2=2^m，m为整数
则k=2^m-2
∵1≤k≤2010
∴1≤2^m-2≤2010
3≤2^m≤2012
log2(3)≤m≤log2(2012)
∵log2(3)＞log2(2),log2(2012)＜log2(2048)
∴log2(2)＜m＜log2(2048)
∴1＜m＜11
∴m∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10}
∑k=∑(2^m-2)=-2×9+∑2^m=-18+4(1-2^9)/(1-2)=2026