Question

一道抽象函数题目

f（x）是R上的函数，对任意的实数x、y都满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，且f（2）=3。
（1）判断函数的奇偶性，并证明。
（2）求函数在区间[-1，3]的值域。
f（3）不是应该等于4.5吗？为什么是3？

Answer 1

f（x+y）=f（x）+f（y）
令y=0

得 f（x+0）=f（x）+f（0）
所以 f（0）=0

再令 y=-x
得 f（x+-x）=f（x）+f（-x）=0
即 f（x）=-f（-x）
所以 是奇函数

再令 y=x=1
得 f（1+1）=f（1）+f（1）=3
所以 f（1）=1.5

再令x=2 y=-1
得 f（2+-1）=f（2）+f（-1）
所以 f（-1）=-1.5
根据f（x+y）=f（x）+f（y）可证函数f（x）是增函数
函数在区间[-1，3]的值域【-1.5,4.5】

Answer 2

（1）奇函数，证明如下：
令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),∴f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x)，从而f(x)是奇函数.
(2)f(2)=f(1)+f(1)，f(2)=3得f(1)=1.5；由（1）知f(-1)=-1.5
f(3)=f(2)+f(1)=3+1.5=4.5
任取x1,x2,且-1≤x1<x2≤3
f(x1)-f(x2)
=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]
=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]
=-f(x2-x1)
∵当x＞0时，f（x）＞0,x2-x1>0
∴f(x2-x1)>0从而f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在[-1，3]上是增函数
∴x=-1时f(x)有最小值-1.5；x=3时f(x)有最大值4.5
∴f(x)值域是[-1.5,4.5]