Question

已知向量a=(cosa,sina),向量b=(cosb,sinb)向量c=(-1,0)

设向量α=π/4,且向量a垂直向量(b+c),求cosβ的值

Answer 1

向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),c=(-1,0),
∴向量b-c=(cosb+1,sinb)
向量b-c的最大值为：
根号下的(cosb+1)^2+sinb^2
=cosb^2+2cosb+1+sinb^2
=1+2cosb+1
=2+2cosb
又因为cosb最大值为1
∴根号下2+2cosb最大值为根号下2+2=4
即最大值为2
向量a垂直(b-c）
∴cosa*(cosb+1)+sinasinb=0
cosacosb+cosa+sinasinb=0
cos(a-b)+sina=0
解得cosb=-√2/2

Answer 2

a丄(b+c) ，则 a*(b+c)=0 ，
即 cosα(cosβ-1)+sinαsinβ=0 ，
所以 cosαcosβ+sinαsinβ=cosα ，
由已知得 cos(α-β)=cos(β-π/4)=cos(π/4) ，
所以 β-π/4=π/4+2kπ 或 β-π/4= -π/4+2kπ ，k∈Z ，
解得 β=π/2+2kπ 或 2kπ ，k∈Z 。

Answer 3

1.
b^2=1,c^2=1,
b·c=-cosβ
(b+c)^2=b^2+c^2-2b·c=2-cosβ,
∵
1≤2-cosβ≤3,
∴
(b+c)^2≤3,|b+c|≤√3,即向量b+c长度的最大值为√3.
2.
a⊥(b+c),a·(b+c)=0,(cosα,sinα)·(cosβ-1,sinβ)=0,
cos(α-β)=cosα,α=π/4,cos(π/4-β)=cos(π/4),
∴
(π/4)-β=π/4或(π/4)-β=-π/4,
β=0或β=π/2,
∴
cosβ=1或cosβ=0.