Question

D是等边三角形ABC外一点，DB=DC,角BDC=120度，点E,F分别在AB,AC上。求证：FD平分角EFC；三角形AEF的周长是

D是等边三角形ABC外一点，DB=DC,角BDC=120度，点E,F分别在AB,AC上。求证：FD平分角EFC；三角形AEF的周长是BC长的2倍。

Answer 1

(1)证明：
过D点作DM⊥EF交EF于M
∵⊿ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60º
∵AD⊥BC，BD=CD
∴AD是等腰三角形BDC底边的垂直平分线【等腰三角形底边的高就是底边的垂直平分线】
∵∠BDC=120º
∴∠BDA=∠CDA=120º÷2＝60º
∠DBC=∠DCB=90º-60º=30º
则∠ABD=∠ABC+∠DBC=60º+30º=90º
同理∠ACD=90º
∵DE平分∠BEF【若用角平分线定理可直接证明BD=MD，怕你没有学，所以用全等证明】
∴∠BED=∠MED
又∵DE=DE，∠EBD=∠EMD=90º
∴⊿EBD≌⊿EMD（AAS ）
∴BD=DM
∵BD=CD，∴MD=CD
∵⊿MFD和⊿CFD是直角三角形，且DF=DF
∴⊿MFD≌⊿CFD
∴∠MFD=∠CFD
即FD平分∠EFC

(2)DB=DG,DE=DE,则Rt⊿DBE≌Rt⊿DGE(HL),得BE=EG;同理可证:CF=FG.
则AE+EF+FA=AE+EG+FG+FA=(AE+EB)+(CF+FA)=AB+AC=2BC.