Question

如图，点A，B，C，D在圆O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED/2，延长DB到点F，使FB=BD/2，连接AF

求证△ABE∽△ADB；求证直线AF与圆O相切.

Answer 1

1、∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠ACB=∠BDA(同弧上圆周角相等）
∴∠ABC=∠BDA
即∠ABE=∠BDA
∵∠BAE=∠BAD
∴△ABE∽△ADB
2、∵AE=ED/2即AE/ED=1/2
FB=BD/2即FB/BD=1/2
∴AE/ED=FB/BD
∴(AE+ED)/ED=(FB+BD)/BD
即AD/ED=BD/DF
∵∠ADF=∠EDB
∴△ADF∽△EDB
∴∠EBD=∠AFD
∴AF∥BE
∴∠FAB=∠ABE=∠BDA
即∠FAB=∠FDA
∵∠AFB=∠AFD
∴△AFB∽△ADF
∴AF/DF=BF/AF
即AF²=BF×DF
∴直线AF与圆O相切(切割线逆定理）

Answer 2

连接OA。
由AB=AC知道OA⊥BC。

由AE=ED/2,FB=BD/2 知道 AF∥BC。

所以OA⊥AF 所以AF与圆O相切于F。

∠ABC=∠ACB=∠ADB
∠BAD=∠DAB
所以△ABE∽△ADB

Answer 3

图片呢？AD经过圆心O不？