Question

若x^2+y^2=1,求3x+4y的取值范围。

Answer 1

方法一：
∵x^2＋y^2＝1，∴可令x＝cosu、y＝sinu，∴3x＋4y＝3cosu＋4sinu。
引入辅助角A，使cosA＝3/5、sinA＝4/5，则：
3x＋4y
＝3cosu＋4sinu＝5［（3/5）cosu＋（4/5）sinu］＝5（cosAcosu＋sinusinA）
＝5cos（A－u）。
显然有：－1≦cos（A－u）≦1，∴－5≦3x＋4y≦5，∴（3x＋4y）的取值范围是［－5，5］。

方法二：
令3x＋4y＝k，则：y＝（k－3x）/4。
∵x^2＋y^2＝1，∴x^2＋［（k－3x）/4］^2＝1，∴16x^2＋（k^2－6kx＋9x^2）＝16，
∴25x^2－6kx＋k^2－16＝0。
∵x是实数，∴（－6k）^2－4×25（k^2－16）≧0，∴9k^2－25k^2＋25×16≧0，
∴16k^2≦25×16，∴k^2≦25，∴－5≦k≦5，∴（3x＋4y）的取值范围是［－5，5］。

方法三：
令3x＋4y＝k。
将问题看成是线性规划问题。
显然，当3x＋4y＝k与x^2＋y^2＝1在第一象限相切时，k最大；在第三象限相切时，k最小。
当直线3x＋4y＝k时x^2＋y^2＝1相切时，原点到3x＋4y＝k的距离＝1，
∴｜3×0＋4×0－k｜/√（3^2＋4^2）＝1，∴｜k｜＝5，∴k＝－5，或k＝5。
∴（3x＋4y）的取值范围是［－5，5］。

Answer 2

x^2+y^2=1
设sina=x,cosa=y
3x+4y=3sina+4cosa=5sin(a+b) (tanb=4/3)
sin(a+b)值域[-1,1]
3x+4y=值域[-5,5]