Question

如图,OM⊥ON。已知边长为2的正三角形ABC,两顶点A,B分别向射线OM,ON上滑动,滑动过程中，连接OC

如图,OM⊥ON。已知边长为2的正三角形ABC,两顶点A,B分别向射线OM,ON上滑动,滑动过程中，连接OC，则OC的长的最大值是 ？

为什么这点在AB中点时OC的长度最大？

Answer 1

解析：连接OC，在⊿OAC中
由余弦定理知OC^2=OA^2+AC^2-2OA*AC*cos∠OAC
设∠OAB=x
∴OA=2cosx，OA=2，∠OAC=π/3+x
OC^2=(2cos(x))^2+4-8cos(x)cos(x+π/3)= (2cos(x))^2+4-8cos(x)[cos(x)1/2-sin(x)√3/2]
= (2cos(x))^2+4-4(cos(x))^2+4√3cos(x)sin(x)
=4+2√3sin(2x)
显然，当x=π/4时，OC^2取最大值，即OC取最大值√(4+2√3)
此时，⊿OAB为等腰直角三角形OA=OB，OC与AB交点为AB的中点。

很长时间没听到你的声音了，小伙子，上高中了吧？

追问

是中点没错，但是老师讲的是1+根号3，你的答案还可以接着化简，我现在才初中，所以不太明白为什么是中点时最长，余弦定理还没学。。能不能用初二的知识讲解下，谢谢你了！

追答

√(4+2√3)=1+√3，我考虑一下，明天再回答你

此题可转化为“两顶点A,B分别向射线OM,ON上滑动,滑动过程中，求O到AB距离最大”
过O作OF⊥AB交AB于F
设AF=x
∵∠AOB=90度，则OF^2=x(2-x)=-(x-1)^2+1
可见当x=1时，OF取最大值1
∴F为AB的中点时OF最大
∵正三角形ABC，边上高为√3
∴OC最大时等于1+√3

追问

OF^2=x(2-x)=-(x-1)^2+1这一步不太懂，是勾股定理吗？还是什么？
我貌似发现了一个问题，你的这个转化不太对劲，原题是求OC的最大距离，而转化后确实O到AB的最大距离，OC最大并能代表是O到AB最大吧？是吗？谢谢！

追答

这个结论是利用三角形相似证明的，在直角三角形中，斜边上高分斜边为二部分，则高为此二部分的比例中项，如果不没学，初三会学的。
转化是正确的，当OC最大时，三角形OAB为等腰三角形，三角形ABC为等边三角形，O,F,C共线

追问

但是一开始并不知道这个OC是最大的，为等腰三角形？

追答

因为正三角形ABC是不变的，即无论，A,B在何位置，其AB上的高均为√3，当OAB为等腰直角三角形时，OF最大，且O,F,C共线，当然此时OC就最大了
所以这种转化是正确的