Question

已知数列(an),(bn)满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1.数列（bn）的前n项和为sn

1，求证数列（1/bn）为等差数列
2，设Tn=S2n-Sn,求证Tn+1>Tn
3,求证：对任意的n属于正整数都有1+n/2<=S2n<=1/2+n成立
详细过程，谢谢

Answer 1

解：（1）由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1
整理得bn-bn+1=bnbn+1，
∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾
从而得

1/(bn+1)    −1/bn   ＝1
∵b1=a1-1=1
∴数列{1/bn}是首项为1，公差为1的等差数列
∴1/bn＝n，即bn＝1/n    

（2）∵Sn＝1+1/2   +1/3    +....+1/n    

∴Tn=S2n-Sn=1+1/2 +1/3  +....+1/n    +1/(n+1)+.... +1/2n    −(1+1/2 +1/3 +....+1/n    )
=1/(n+1) +1/(n+2) +....+1/2n    
∵2n+1＜2n+2

∴1/(2n+1)    ＞1/(2n+2)    

∴Tn+1−Tn＞1/(2n+2) +1/(2n+2)   −1/(n+1) ＝0
∴Tn+1＞Tn．
（3）用数学归纳法证明：
太难打了， 截给你 ~

 

 采纳吧~

Answer 2

解：（1）由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1
整理得bn-bn+1=bnbn+1
∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾
从而得
1/bn+1−1/bn＝1，
∵b1=a1-1=1
∴数列{1/bn}是首项为1，公差为1的等差数列
∴1/bn=n,即bn＝1/n
（2）（2）∵Sn＝1+1/2+1/3+……+1/n
∴Tn=S2n-Sn=1+1+1/2+1/3+……+1/n+1/n+1+……1/2n-1-(1+1/2+1/3+……+1/n)
=1/n+1+……1/2n
Tn+1-Tn=1/2n+2+1/2n+1-1/n>2/(2n+2)-1/n=0
3、用数学归纳法证明
①当n=1时1+n /2 ＝1+1/2,S2n＝1+1/2,1/2+n＝1/2+1，不等式成立
②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即1+k/2≤S2k≤1/2+k