Question

已知数列{an}和{Bn}满足a1=2 an-1=an(an+1-1) bn=an-1 n∈N+

已知数列{an}和{Bn}满足a1=2 an-1=an[a(n+1)-1] bn=an-1 n∈N+

（1）求Bn通向公式
（2）设Cn=B(2n-1)B(2n+1) 求使得C1+C2+....+Cn< （M/10）对一切N∈N+都成立的最小正整数m
（3）设Bn前n项和为Sn，Tn=s2n-sn 比较T(n+1)和Tn大小

Answer 1

an-1=an[a(n+1)-1]，an[a(n+1)-2]=-1，a(n+1)=2-1/an=1+（an-1)/an，a1=2，a2=1+1/2=3/2，a3=1+（3/2-1）/（3/2）=4/3，------，an=1+（n/(n-1)-1)/(n/(n-1))=(n+1)/n；
bn=an-1=（n+1)/n-1=1/n；
cn=B(2n-1)B(2n+1) =1/（2n-1)*1/(2n+1)=1/2（2n-1）-1/2（2n+1)；
C1+C2+....+Cn=（1/2-1/6）+（1/6-1/10）+（1/10-1/14）+…+（1/2（2n-1)-1/2(2n+1)
=n/(2n+1)=1/(2+1/n)<M/10，当n越大，cn的和的值越大，当n趋向于∞时，其值趋向于1/2，故M/10最小应为1/2，所以M的最小值为5；
Sn=1+1/2+1/3+…+1/n
Tn=s2n-sn =1/（n+1)+1/（n+2)+…+1/2n；
T(n+1)=1/（n+2)+1/(n+3)+…+1/2n+1/（2n+1)+1/2(n+1)；
T(n+1)-Tn=1/（2n+1)+1/2(n+1)-1/(n+1)=1/(2n+1)-1/2(n+1)=1/(2n+1)-1/(2n+2)>0；
所以T(n+1)>Tn