Question

如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上任意一点。求证:AB²=AD²+BD·DC.

Answer 1

证明：做A到BC的垂线，垂足为E。
因为：AB=AC,所以：BE=EC
在直角三角形ABE中，AB²＝AE²+BE²
在直角三角形ADE中,AD²=AE²+DE²
则：AB²-AD²=BE²-DE²=(BE-DE)(BE+DE)
因为BE=EC
所以有AB²-AD²=BE*(EC+DE)=BE*EC移项得
AB²=AD²+BE*EC

Answer 2

取BC中点E，连接AE，∵AB=AC，∴AE垂直于BC，∴AD²=AE²+DE²
∵BE=CE，∴BD*DC=（EC+DE）(EC-DE)=(BC+DE)(BC+DE)=BC²-DE²
∵△ADE为直角三角形，∴AD²=AE²+BE²
∴AD²+BD·DC=AE²+DE+BE²-DE²=AE²+BE²=AB²

Answer 3