Question

若向量组a1,a2+3a1,a3-5a2+2a1线性无关,证明向量组a1,a2,a3也线性无关。

如题求解...

Answer 1

因为一个向量组线性无关的充要条件之一是它的秩等于其向量的个数。

Answer 2

(a1,a2+3a1,a3-5a2+2a1)
--> c2-3c1, c3-2c1
(a1,a2,a3-5a2)
--> c3+5c2
(a1,a2,a3)
因为初等变换不改变矩阵的秩
所以 r(a1,a2,a3) = r (a1,a2+3a1,a3-5a2+2a1) = 3
即 a1,a2,a3 线性无关.

Answer 3

若 向量a,b 无关 则a与a-b无关；
a1 与 a2+3a1无关，所以，a1 ，a2+3a1-a1（即a2+2a1）无关， 与a2+2a1-a1无关（即a2+a1），与a2+a1-a1无关 a2与a1无关，
同理可证a1,a2,a3也线性无关。

追问

问下为什么啊？这是什么定理？

追答

这个好像没有专门什么定理，a，b无关，两者不能相互线性表示，所以 a，a+b 也是无法相互表示的，你可以证明一下

追问

额，那你还会别的方法吗？比如秩的，答案书是用秩和等价向量组做的，但是写的不详细我看不懂

追答

额 没有别人回答你吗。。。 我线性代数都忘光了，书都借走了

追问

目前没有，再等等吧。。。