Question

高一数学：已知f(x)对于任何实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(2)=2

已知f(x)对于任何实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(2)=2,且f(x)是R上的增函数，则不等式f(x+1)+f(x-1)>4的解集为？

Answer 1

法一：根据题目，假设f（x）=x，则不等式为x+1+x-1＞4，解得x＞2，所以解集为｛x丨x＞2｝
法二：因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(2x)=f(x)+f(x)=2f（x）

f(x+1)+f(x-1)>4等价于f(x+1+x-1)>4，即f（2x）＞4，即2f（x）＞4
即f（x）＞2，因为f（x）是增函数，f（2）=2，所以解集为｛x丨x＞2｝

Answer 2

f(0+2)=f(2)=f(0)+f(2),所以f(0)=0.f(1+1)=f(2)=f(1)+f(1)=2,所以f(1)=1.f(x+1)+f(x-1)=f(2x)=f(x+x)
=2f(x)>4;即f（x)>2。因为f(2)=2,且f(x)是R上的增函数。所以解集为{x|x>2}.不懂请追问，请采纳

Answer 3

小题的话不妨设f（x）=x，则不等式可化为2x大于4，得x大于2

Answer 4

解：f（x+1）+f（x-1）=f（2x）>4 ，
f（4）=f（2）+f（2）=4
所以f（2x）>f(4)
又因为f（x）在R单增
所以2x>4
所以x>2

（三哥纯手打，请采纳，谢谢）

Answer 5

令y=0得f(x)=f(x)+f(0) 得f(0)=0
再令y=-x得0=f(0)=f(x)+f(-x)可得f(x)为奇函数
f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=4
f(x+1)+f(x-1)=f(2x)
因为f(x)在R上递增
所以2x>4
解得x>2