Question

如图，二次函数y=一1/2x2+c的图象经过点D(一根号3，9/2)，与x轴交于A，B两点，

如图；二次函数Y=-1/2X平方+C的图像经过点D（负根号3,9/2），与X轴交于A,B两点。

1，求C的值？
2，设点C为该二次函数的图像在X轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式。

Answer 1

如图；二次函数Y=-1/2X平方+C的图像经过点D（负根号3,9/2），与X轴交于A,B两点。
(1)求C的值？
(2)设点C为该二次函数的图像在X轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式。

(1)解析：f(x)=-1/2x^2+C==> f(-√3)=-3/2+C=9/2==>C=6

(2)证明：∵f(x)=-1/2x^2+6，D(-√3，9/2)

∴A(-2√3,0)，B(2√3,0)

由题意，设直线AC为y=kx+2k√3，k>0

D到AC的距离d1=|-k√3-9/2+2k√3|/√(k^2+1)=|k√3-9/2|/√(k^2+1)

B到AC的距离d2=|2k√3+2k√3|/√(k^2+1)=|4k√3|/√(k^2+1)

令|4k√3|=|k√3-9/2|==>k=3√3/10

∴直线AC的函数解析式：y=3√3/10*x+9/5

如图所示：

                            

过D，B分别为作DE⊥AC交AC于E，作BF⊥AC交AC于F

∵直线AC将四边形ABCD的面积二等分，

∴DE=BF

∴⊿DEG≌⊿BFG==>BG=DG

∴线段BD被直线AC平分，