Question

若△ABC三边a,b,c满足a²+b²+c²=ab+bc+ca.判断△ABC的形状

Answer 1

a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形

Answer 2

全式乘2 得2a^2+2B^2+2c^2=2ab+2Bc+2ca 分开得 (a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac)=0 (a-b)^2+（b-c)^2+(a-c)^2=0 所以a=b=c 为等边三角形