1/(1+x^2)的n阶导数怎么求?

请写出详细过程。我们老师也说用复数。但是i怎么消下去啊?... 请写出详细过程。我们老师也说用复数。但是i怎么消下去啊? 展开
hwxbest
2010-11-03 · TA获得超过137个赞
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这个好像没有很简单的形式吧。

这个相当于 arctan x的 n+1阶导数.
设 y= 1/(1+x^2)
可假设其n阶导数是 Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)的形式,其中Pn(x)是关于x的一个多项式。 P0(x)=1。

这里我们求出Pn(x)的递推公式

y^(n) =Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)

所以 (1+x^2)^(n+1) y^(n)= Pn(x)
两边对x求导
(n+1)(1+x^2)^n * (2x) y^(n) +(1+x^2)^(n+1) y^(n+1) =Pn'(x)

从而算出 代入 y^(n)= Pn(x)/(1+x^2)^(n+1)
可以得到
y^(n+1)= (Pn'(x)-(n+1)xPn(x))/(1+x^2)^(n+2)

所以 Pn+1(x) = Pn'(x) - (n+1)xPn(x)

我们的递推基础是 P0(x)=1

因此 其n阶导数是 Pn(x)/(1+x^2)^(n+1),其中

Pn+1(x)=Pn'(x) -(n+1)xPn(x)

比如由此可以算出

P1(x) =0 -2x =-2x
P2(x) = -2 +6x^2
等等

不知道是否满意这个答案。。。

有个简单的办法是:设 i^2=-1
则 y=1/(1+x^2)= 1/(x+i)(x-i) = 2i(1/(x-i)-1/(x+i))
这样用复数来表示,n阶导数就很好求了,因为这个转化为求
1/(x-i)这种简单函数的n阶导数,这里的i始终当常数看待即可。

用复数求出的n阶导数是
(-1)^n * 2i * (1/(x-i)^(n+1)- 1/(x+i)^(n+1))

如果非要想消掉i的话,括号里边通分,分母是 (x^2+1)^(n+1)
分子是 (x+i)^(n+1) - (x-i)^(n+1)

利用 a^(n+1)-b^(n+1)=(a-b)(a^n+a^(n-1)b+...+b^n)
的公式可以得到

(x+i)-(x-i)=2i

这个跟外面的2i相乘得到-4

剩下那个就要麻烦一点了
设 u为终边过 (x,1)的角
r=(√x^2+1)
则 (x+i)=r(cos u+ i*sin u)
(x-i)=r(cos (-u)+ i*sin (-u))
(x+i)^k=r^k(cos ku+i*sin ku)

这样可以把分子全部用复数的角形式来表示,
当n是奇数
(x+i)^n+(x-i)^n= r^n (cos nu+isin nu + cos nu -isin nu)=r^n*2cos nu

(x+i)^(n-1)(x-i)+ (x+i)(x-i)^(n-1)
= r^n(cos (n-2)u+isinc (n-2)u + cos (2-n)u+isin(2-n)u)=r^n 2cos (n-2)u
这样下去分子就变成了
2r^n (cos nu+ cos (n-2)u+...+cos 3u+ cos u)
在外边乘上一个sin u可以利用积化和差公式求和,然后就只能这样表示了,要换成x好像有点困难

n是偶数,用同样的办法你得到

2r^n(cos nu+...+cos 2u + 1)

其中 cos nu+...+cos 2u 乘上sin u可求和,同样的,要转化成x就很困难了,求和后有个cos(n+1)u
德洛伊弗
2010-11-04 · TA获得超过2088个赞
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上面那些方法确实能做,但化成实数以后形式很繁琐。 不妨换个思路, 用三角函数来表示。

至于解答的形式,我是多导了几次猜出来的,有些运气成分,不过关键是要想到用三角函数来表示,这样形式上可能会简单.

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康伯伟
2010-11-03 · TA获得超过2106个赞
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注意虚数的规律:

i=i, i&sup2;=1, i&sup3;=-i, i⁴= 1

再根据二项式展开后, 相互抵消后的结果, 分奇偶讨论,就可消去虚数。

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blenc
2010-11-10 · TA获得超过1674个赞
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利用(x+a)^(-1)的n次求导公式和复数的欧拉公式就能解决这道问题,最终答案不含有虚数i:

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lwy199008
2010-11-01 · TA获得超过4567个赞
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1阶导数=(1+x^2)^(-2)(2x)
2阶导数=(1+x^2)^(-3)(3x*x-1)*2
依此类推
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