Question

设函数f（x）=x 2 +|2x-a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； （2）设a＞2，求函

设函数f（x）=x 2 +|2x-a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值； （2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0 （2） f(x)= x 2 +2x-a，x≥ 1 2 a x 2 -2x+a，x＜ 1 2 a 当 x≥ 1 2 a 时，f（x）=x 2 +2x-a=（x+1） 2 -（a+1） 由 a＞2，x≥ 1 2 a ，得x＞1，从而x＞-1 故f（x）在 x≥ 1 2 a 时单调递增，f（x）的最小值为 f( a 2 )= a 2 4 当 x＜ 1 2 a 时，f（x）=x 2 -2x+a=（x-1） 2 +（a-1） 故当 1＜x＜ a 2 时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减 则f（x）的最小值为f（1）=a-1 由 a 2 4 -(a-1)= (a-2) 2 4 ＞0 ，知f（x）的最小值为a-1．