Question

设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|，（x∈R，a为实数） （1）讨论该函数的奇偶性 （2）设a＞1/2，求函数

最小值
（3）设a＞0，g（x）=f（x）/x，x∈（0，a]，若g（x）在区间（0，a]上是减函数，求a的取值范围。

Answer 1

1）a=0时f(x)=x^2+|x|, 显然为偶函数。
a≠0时，f(-x)=x^2+|x+a|≠x^2+|x-a|, 因此不是偶函数
f(-x)+f(x)=2x^2+|x+a|+|x-a|≠0, 因此也不是奇函数
即a≠0时为非奇非偶函数

2）x>=a>1/2时，有f(x)=x^2+x-a=(x+1/2)^2-a-1/4,对称轴为x=-1/2, 在x>-1/2时单调增，所以此时最小值为f(a)=a^2
x<a时，有f(x)=x^2+a-x=(x-1/2)^2+a-1/4, 最小值为f(1/2)=a-1/4
又因为a^2-（a-1/4）=（a-1/2)^2>=0,
所以有a^2>=a-1/4
即f(x)的最小值为f(1/2)=a-1/4

3)g(x)=x+|x-a|/x=x+(a-x)/x=x+a/x-1
x+a/x>=2√(x*a/x)=2√a, 此为双钩函数，最小值为当x=√a时取到，在（0，√a)时递减；在x>√a时递增。由题意， 有√a>=a,
解得：0<a<=1

追问

为什么“又因为a^2-（a-1/4）=（a-1/2)^2>=0,”

追答

就是两数相减，如果大于0，则表示前者大呀