Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x 2 + y 2 4 =1在第一象限的部分为曲线C，曲线C在其上动点P

在平面直角坐标系xOy中，椭圆x 2 + y 2 4 =1在第一象限的部分为曲线C，曲线C在其上动点P（x 0 ，y 0 ）处的切线l与x轴和y轴的交点分别为A、B，且向量 OM = OA + OB ．（1）求切线l的方程（用x 0 表示）；（2）求动点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）因为y=2 1- x 2 ，所以y′═- 2x 1- x 2 ，（3分） 故切线l的方程为y-2 1- x 0 2 =- 2 x 0 1- x 0 2 （x-x 0 ），即y=- 2 x 0 1- x 0 2 x+ 2 1- x 0 2 ．（5分） （2）设A（x 1 ，0）、B（0，y 2 ），M（x，y）是轨迹上任一点， 在y=- 2 x 0 1- x 0 2 x+ 2 1- x 0 2 中，令y=0，得x 1 = 1 x0 ； 令x=0，得y 2 = 2 1- x 0 2 ，则由 OM = OA + OB ，得 x= 1 x 0 y= 2 1- x 0 2 （8分） 消去x 0 ，得动点M的轨迹方程为 1 x 2 + 4 y 2 =1（x＞1）．（10分）