Question

已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值

已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．

Answer 1

【考点】多项式的除法应用；
由多项式除法及因式分解可知：
取a=-1时，关于a的等式 a³+a²+a+1=0 恒为0，故多项式 a³+a²+a+1的一个因式为（a+1）。
将多项式 （a+1）除多项式 a³+a²+a+1，可得另一个因式 （a²+1），
故a³+a²+a+1等价于（a+1）（a²+1）=0，故 a=-1，故由 1+a=0，a2+a3=0，...可知a2010+a2011=0，a2012=1，故原式值为 1。
【答案】1。
【分析】多项式的除法是现在高中没有涉及到的概念，但在某些问题上有很大的作用。如果学生能在此方面多了解相关知识，关于 n项式的大部分问题均可利用此方法解决。

Answer 2

∵a³+a²+a+1=0，
∴1+a+a²+a³+…+a²⁰¹²，
=1+a（1+a+a²+a³）+a⁵（1+a+a²+a³）…+a²⁰⁰⁹（1+a+a²+a³），
=1．