Question

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）内至少有

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=x³-3ax²+3x+1得f′（x）=3x²-6ax+3
当a=2时，f′（x）=3x²-6ax+3=3x²-12x+3=3（x²-4x+1）
由f′（x）=3（x²-4x+1）＞0得x＞2+

3

或x＜2?

3

；
由f′（x）=3（x²-4x+1）＜0得2?

3

＜x＜2+

3

；
所以f（x）的单调递增区间是(?∞，2?

3

]和[2+

3

，+∞)，f（x）的单调递减区间是[2?

3

，2+

3

]
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

（x+