Question

已知函数f（x）=13x3+mx2-3m2x+1（m＞0）．（1）若m=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

已知函数f（x）=13x3+mx2-3m2x+1（m＞0）．（1）若m=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=1时，f（x）=

1

3

x³+x²-3x+1，
f′（x）=x²+2x-3，
∴f′（2）=5．
又f（2）=

5

3

，
∴所求切线方程为y-

5

3

=5（x-2），即15x-3y-25=0．
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x-3y-25=0；
（2）∵f′（x）=x²+2mx-3m²，
令f′（x）=0，得x=-3m或x=m．
当m=0时，f'（x）=x²≥0恒成立，满足函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增．
当m＞0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m），（m，+∞），
若f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
则

m＞0 2m?1＜m+1 2m?1≥m

，解得1≤m＜2．
当m＜0时，f（x）的单调递增区间是（-∞，m），（-3m，+∞），
若f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
则

m＜0 2m?1＜m+1 m+1＜m

，m∈?．
综上所述，实数m的取值范围是m=0或1≤m＜2．