Question

已知 如图 在rt三角形abc中,角c等于90度,D是AC的中点,ED垂直AB于E

求证:(1)AB的平方+3BC的平方=4BD的平方 (2)BE的平方-AE的平方=BC的平方

Answer 1

证明：
∵BF平行于AC（已知）
∴∠ACB+∠CBF=180°（两直线平行,同旁内角互补）
∠ACE=∠BFC（两直线平行,内错角相等）
∵∠ACB=90°（已知）
∴∠CBF=180°-90°=90°
∴∠FCB+∠BFC=90°
∵∠ACE+∠CAD=90°（已知）
∴∠BFC+∠CAD=90°（等量代换）
∴∠FCB=∠CAD（同角的余角相等）
∵BC=AC（已知）
∴△ACD全等于△CFB（ASA）
∴CD=BF
∵D是BC的中点（已知）
∴CD=BD（中点定义）
∴BD=BF（等量代换）
∴△BDF为等腰三角形
∵∠CAB=∠CBA=45°（由△ABC是等腰三角形知）
∴AB垂直平分DF（等腰三角形三线合一）

Answer 2

1、BD²=BC²+DC²
DC=1/2AC
∴BD²=BC²+(1/2AC)²
4BD²=4BC²+AC²
4BD²=3BC²+BC²+AC² (BC²+AC²=AB²)
4BD²=3BC²+AB²
即AB的平方+3BC的平方=4BD的平方
2、

追问

• ∴BD²=BC²+(1/2AC)²
  4BD²=4BC²+AC²
  这一步:左右两边都乘4,那不应该是4BD²=4BC²+2AC²
  吗???

追答

（1/2AC)²=1/4AC²

Answer 3

1）AB²＋3BC²＝BC²＋AC²＋3BC²＝AC²＋4BC²＝﹙2CD﹚²＋4BC²＝4CD²＋4BC²＝4BD²
2﹚BE²－AE²＝﹙BD²－DE²﹚－﹙AD²－DE²﹚＝BD²－AD²＝BD²－CD²＝BC²