Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交 AC的延长线与点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）求cos∠F的值．

Answer 1

证明：（1）连接OD，…（1分） ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， 又∵AB=AC， ∴∠OCD=∠B， ∴∠ODC=∠B， ∴OD ∥ AB，…（2分） ∵ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， ∴OD⊥EF， ∴AB⊥EF；…（3分） （2）连接AD、CG， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AGC=90°， ∵AB⊥EF， ∴DE ∥ CG， ∴∠F=∠GCA，…（4分） ∵AB=AC， ∴DC= 1 2 BC=5， Rt△ADC中，AD= A C 2 -C D 2 =12，…（5分） ∵S △ABC = 1 2 AD?BC= 1 2 AB?CG， ∴CG= AD?BC AB = 120 13 ，…（6分） 在Rt△CGA中，cos∠GCA= GC AC = 120 169 ， ∴cos∠F= 120 169 ．…（7分）