Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，?2)．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[π12，π2]，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）由最低点为M(

2π

3

，?2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的丛缓距离为

π

2

得

T

2

=

π

2

，
即T=π，ω＝

2π

T

＝

2π

π

＝2
由点M(

2π

3

，?2)在图象上的2sin(2×

2π

3

+φ)＝?2，即sin(

4π

3

+φ)＝?1
故

4π

3

+φ＝2kπ?

π

2

，k∈Z∴φ＝2kπ?

11π

6

又昌兆φ∈(0，

π

2

)，∴φ＝

π

6

，故f(x)＝2sin(2x+

π

6

)
（2）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，渗迅模∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]
当2x+

π

6

=

π

2

，即x＝

π

6

时，f（x）取得最大值2；当2x+

π

6

＝

7π

6

即x＝

π

2

时，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域为[-1，2]