Question

关于高数二极限计算题用洛必达法则求导

后天就考试了，成考高数二，然后这几题计算题不懂，求达人告知。两题计算题我在网上看视频，说是用洛必达法则上下求导，那公式是什么啊？？？麻烦把步骤写出来，因为我不是很懂，然后图3，就是我手写的那个，2x+1/3x是怎么变成2、3的

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Answer 1

0/0型，∞/∞型未定式，可用罗比达法则求极限

罗比达法则：
若x->x0时，f(x)-->0,g(x)-->0
那么lim(x-->x0) f(x)/g(x) =lim(x-->x0)f'(x)/g'(x)
f'(x),g'(x)分别是f(x),g(x)的导数

第一题
x-->0时，分子e^x-1-->0 ,分母x-->0
这是0/0型，适用罗比达法则
原式=lim(x-->0)(e^x)/1=1

第二题
x-->1时，分子x³-2x+1-->0,分母x-1-->0
0/0型
原式=lim(x-->1) (3x²-2)/1=3-2=1

第三题
应用重要极限lim(x-->∞) (1+1/x)^x=e

（1+1/(3x))^(2x+1)
指数应该凑成3x,即2x+1=3x*(2x+1)/(3x)
那么(1+1/(3x))^(3x)--> e
而(2x+1)/(3x)=2/3+1/(3x)--> 2/3
那么原式=e^(2/3)

追问

不好意思，麻烦问下， ∧ 这个符号是代表什么

追答

^后面的字母，数字，字母在右上角位置。
比如2^x表示2的x次方
2^(x+1)表示2的x+1次方

追问

太谢谢了，看了下您的名字，原来是数学老师，学渣跪拜下，哈哈，

追答

高中的，高数简单的还可以，难的也忘了。

追问

不好意思，我还是不懂，你说f'(x),g'(x)分别是f(x),g(x)的导数，我百度了下导数公式，好像比较适合用到的是这些

1. y=c(c为常数) y'=0
   2.y=x^n y'=nx^(n-1)
   3.y=a^x y'=a^xlna
   y=e^x y'=e^x

我不明白，e^x-1是怎么变成e^x,   x^3-2x+1是怎么变成3x^2-2   x^2-1是怎么变成2x的，是用我找的那些导数公式吗？？

追答

你列的是基本函数求导公式，另外还有
2.和差积商的导数公式:
[f（x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 特例[Cf(x)]'=Cf'(x)
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g²(x)

3还有复合函数求导，外导乘以内导

(e^x-1)'=(e^x)'-1'=e^x-0=e^x
(x^3)'=3x^2, (2x)'=2x'=2
(x^2)'=2x

( x^3-2x+1)'
=(x^3)'-(2x)'+1' 【应用和差的导数公式】
=3x^2-2 【1为常数，导数为0 】

追问

太谢谢了，我想最后再问一个问题，关于洛必达法则，是分子和分母都为0才能用，那是把lim下边的那个X趋向的数字带入式子中吗，

追答

分子分母的极限都是0，为0/0型未定式【极限有没有还不能定】
分子分母的极限都是∞，为∞/∞型未定式【极限有没有还不能定】

x-->0时，e^x--> e^0=1,即e^x-1--> 0

可以认为是代入了