Question

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（ ，0），解答下列

如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（ ，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不存在，请说明理由．





Answer 1

解：（1）∵A（0，2），B（2 ，0） ∴OA=2，OB=2 ； Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB= =4； （2）∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙O的直径； ∴⊙C的半径r=2；过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB； ∵C是AB的中点， ∴CE是△AOB的中位线， 则OE= OA=1，CE= OB= ，即C（ ，1）； 故⊙C的半径为2，C（ ，1）； （3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，交OB于D； 如图；连接OC； 由垂径定理知：MN必过点C，即MN是⊙C的直径； ∴M（ ，3），N（ ，﹣1）； 在Rt△OMD中，MD=3，OD= ， ∴∠BOM=60°； ∵MN是直径， ∴∠MON=90°，∠BON=30°； 由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形，因此M、N均符合P点的要求； 故存在符合条件的P点：P 1 （ ，3），∠BOP 1 =60°；P 2 （ ，﹣1），∠BOP 2 =30°．