Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点．（1）求证：面MNP

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A1C1的中点．（1）求证：面MNP∥面A1C1B．（2）求证：OM⊥面A1BC1．

Answer 1

证明：（1）连结D₁C，MN为△DD₁C的中位线，∴MN∥D₁C．…（2分）
又∵D₁C∥A₁B∴MN∥A₁B．同理MP∥C₁B．…（4分）
而MN与MP相交，MN，MP?面MNP，A₁B，A₁B?面A₁C₁B．
∴面MNP∥面A₁C₁B．…（6分）
（2）连结C₁M和A₁M，设孙蔽肢正方体的边长为a，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴C₁M=A₁M，
又∵O为A₁C₁的中点并御，
∴A₁C₁⊥MO…（8分）
连结BO和BM，则世在三角形BMO中，
OB=

6

2

a，MO=

3

2

a，BM=

3

2

a，
∴OB²+MO²=MB²，
即BO⊥MO．而A₁C₁，BO?面A₁C₁B，
∴MO⊥面A₁C₁B．…（12分）