Question

（2014?哈尔滨）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G

（2014?哈尔滨）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为______．

Answer 1

解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵

BD

CD

=

S△ABD

S△ACD

=

1 2 AB?h

1 2 AC?h

=

AB

AC

=

5

4

，
∴BD=

5

4

CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，

AB＝AM ∠BAD＝∠MAD AD＝AD

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=

5

4

CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴

CK

CD

=

CM

AC

=

1

4

，
∴CK=

1

4

CD，
∴KD=

5

4

CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴

AH

MH

=

2

3

．
∵MN∥AD，
∴

AG

MN

=

AH

MH

，即

AG

2FD

＝

2

3

，
∴