Question

（2011?甘肃一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．（1）求证：平面PAC⊥

（2011?甘肃一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1．（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）若点E为PB的中点，求二面角A-DE-B的大小．

Answer 1

（1）证明：底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD
又∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC
∴AC⊥平面PBD
又由AC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∵PD=AD=1
∴D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）
又∵点E为PB的中点，∴E（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

AE

=（-

1

2

，

1

2

，

1

2

）
又

PC

=（0，1，-1），
∴

AE

?

PC

=（-

1

2

，

1

2

，

1

2

）?（0，1，-1）=0，
∴PC⊥AE，又PC⊥AD
∴PC⊥平面ADE
故

PC

=（0，1，-1），即为平面ADE的一个法向量
又由（1）可知

AC

=（-1，1，0）为平面BDE的法向量
故cosθ=

PC ? AC

| PC |?| AC |

=

1

2

故此时二面角的大小为60°（12分）