Question

求证：lnx+1x?12(x?1)2≥1+23(1?x)3

求证：lnx+1x?12(x?1)2≥1+23(1?x)3．

Answer 1

解答：证明：设 f(x)＝lnx+

1

x

?

1

2

(x?1)2?[1+

2

3

(1?x)3](x＞0)，
则：f′(x)＝

1

x

?

1

x2

?(x?1)+2(1?x)2＝(x?1)3?

2x+1

x2

，
令f'（x）=0解得：x＝1或x＝?

1

2

(舍)，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

∴当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=0，也是唯一极小值，
∴f（x）的最小值为f（1）=0，即：f（x）≥f（1）=0，
所以lnx+

1

x

?

1

2

(x?1)2≥1+

2

3

(1?x)3．