Question

（2011?广东模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且

（2011?广东模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA=90°，AP=AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE（I）求证：DE⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A-DE-P为直二面角时，求多面体ABCED与PAED的体积比．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵BC∥平面ADE，BC?平面PBC，
平面PBC∩平面ADE=DE
∴BC∥ED（2分）
∵PA⊥底面ABC，BC?底面ABC∴PA⊥BC．（3分）
又∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（5分）
∴DE⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，（8分）
∴∠AEP=90°，即AE⊥PC，（9分）
∵AP=AC，∴E是PC的中点，ED是△PBC的中位线．（10分）
∴

VA?BCED

VA?PDE

＝

SBCED

SPDE

＝

3

1

（12分）