Question

（2010?石景山区一模）已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，连接CD．（1）判断CD是否为⊙O

（2010?石景山区一模）已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，连接CD．（1）判断CD是否为⊙O的切线，若是请证明；若不是请说明理由；（2）若AC=2，OD=6，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）判断：CD是⊙O的切线
证明：连接OC（1分）
∵AC∥OD
∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠BOD=∠COD
∵OB=OC，OD为公共边
∴△BOD≌△COD
∴∠B=∠OCD
∵BD是⊙O的切线，AB为直径
∴∠ABD=90°
∴∠OCD=90°（2分）
∴CD是⊙O的切线

（2）连接BC交OD于E
∵CD和BD都是⊙O的切线
∴CD=BD，∠CDO=∠BDO
∴BC⊥OD，BE=CE，∠OBD=90°
∴△OBE∽△ODB
∴

OB

OD

＝

OE

OB

（3分）
由BE=CE，OA=OB
得OE为△ABC的中位线
即OE=

1

2

AC=1
∴

OB

6

＝

1

OB

得OB=±

6

（舍负）（5分）
∴⊙O的半径为

6

注：还可以证明△ABC∽△ODB