Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=OB=5．点C是第一象限内一

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且OA=OB=5．点C是第一象限内一动点，直线AC交y轴于点F．射线BD与直线AC垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．OE⊥OC，交射线BD于点E．（1）求证：不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上；（2）若点C的坐标为（2，4），求直线BD的解析式．

Answer 1

解答：（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDF=90°，
∴∠OBM+∠OFA=90°，
∵∠AOF=90°，
∴∠OAF+∠OFA=90°，
∴∠OAF=∠OBM，
在△OAF和△OBM中，

∠OAF=∠OBM OA=OB ∠FOA=∠MOB=90°

，
∴△OAF≌△OBM，
∴OF=OM，∠OFA=∠OMB，
∵OC⊥OE，
∴∠EOC=90°，
∴∠AOF∠AOC=∠EOC-∠AOC，
∴∠FOC=∠MOE，
在△OFC和△OME中，

∠OFC=∠OME OF=OM ∠FOC=∠MOE

，
∴△OFC≌△OME，
∴OC=OE，
∴不论点C怎样变化，点O总是在线段CE的垂直平分线上；
（2）解：设直线AC的解析式为：y=ax+b，把A，C坐标代入可求出a=-

4

3

，b=

20

3

∴直线线AC的解析式为y=-

4

3

x+

20

3

，
令x=0，可求得y=

20

3

，
∴OM=OF=

20

3

，
∴点M的坐标为（

20

3

，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b，把M（

20

3

，0）和B（0，-5）的坐标代入得：

0= 20 3 k+b b=-5

解得：

k= 3 4 b=-5

，
∴直线BD的解析式为y=

3

4

x-5．