在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三
在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、...
在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=______时，△PEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．
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（1）解：当BE=0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，
当BE=2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形
由题干条件知PC=2
，当CP=CE时△PEC是等腰三角形，BE=4-2
；
当E在BC的延长线上时，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2
；
故答案为0、2或4±2
．
（2）证明：连接BP．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P是AC中点，
∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP⊥PE，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE，
在△DPB和△EPC中
∵
，
∴△DPB≌△EPC，
∴PD=PE，
（3）解：MD、ME的数量关系是：
＝
，
理由如下：
过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．
由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，
∵∠DMH+∠HME=90°，
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE，
∴
＝
①，
∵
＝
当BE=2时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形
由题干条件知PC=2
| 2 |
| 2 |
当E在BC的延长线上时，CE=CP，△PEC是等腰三角形，BE=4+2
| 2 |
故答案为0、2或4±2
| 2 |
（2）证明：连接BP．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P是AC中点，
∴BP⊥AC，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP⊥PE，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE，
在△DPB和△EPC中
∵
|
∴△DPB≌△EPC，
∴PD=PE，
（3）解：MD、ME的数量关系是：
| MD |
| ME |
| m |
| n |
理由如下：
过M分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、H．
由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，
∵∠DMH+∠HME=90°，
∴∠GMD=∠HME
∴△MGD∽△MHE，
∴
| GM |
| HM |
| MD |
| ME |
∵
| AM |
| MC |
| m |
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